Makalah Logaritma Trigonometri dan program linier


Download Makalah

Contoh Makalah Logaritma Trigonometri dan program linier

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah ini dengan baik dan tepat pada waktunya. Dalam makalah ini kami membahas mengenai LOGARITMA.POGRAM LINIER,DAN TRIGONOMETRI

Makalah ini dibuat dengan berbagai observasi dan beberapa bantuan dari berbagai pihak untuk membantu menyelesaikan tantangan dan hambatan selama mengerjakan makalah ini. Oleh karena itu, kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini.

Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang mendasar pada makalah ini. Oleh karena itu kami mengundang pembaca untuk memberikan saran serta kritik yang dapat membangun kami. Kritik konstruktif dari pembaca sangat kami harapkan untuk penyempurnaan makalah selanjutnya. 

Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi kita sekalian.

BAB I

PENDAHULUAN

A. TUJUAN

Untuk mengetahui dan memahami lebih dalam tentang LOGARITMA TRIGONOMETRI,PROGRAM LINIER

B. LATAR BELAKANG

Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanyasebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real,kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadididasarkan pada penalaran

Penalaran yang logis atas sistem matematis.Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasidan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan.Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.Dari latar belakang masalah di atas maka penulis akan menyusun salahsatu pembahasan matematika yaitu tentang logaritma beserta contoh

BAB II

PEMBAHASAN

PENGERTIAN LOGARITMA

Misalnya a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1). Logaritma a dengan bilangan pokok g (ditulis: glog a) adalah eksponen yang akan dimiliki oleh a jika bilangan a ini dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok g.
Ditulis :
glog a = x jika dan hanya jika a = gx
dari definisi diatas jelas bahwa a = gx dan glog a = x merupakan dua buah hubungan yang ekuivalen atau setara. Ini berarti setiap betuk bilangan berpangkat dapat diubah kebentuk logaritma, dan sebaliknya. Bentuk a = gx dinamakan bentuk eksponen sial dan bentuk glog a = x dinamakan bentuk logaritma.
Selain itu beberapa ketentuan yang harus dipahami dalam logaritma diantaranya adalah:
Bilangan pokok atau basis logaritma g ditetapkan positif dan tidak sama dengan 1 (g > 0 dan g ≠ 1). Untuk g = 10, biasanya bilangan pokok ini tidak dituliskan, jadi log 5 yang dimaksud adalah 10log 5.
Untuk g = e ( e bilangan irasional dengan e ≅ 2.71828. . .), elog a = ln a ( dibaca: logaritma natural dari a ) yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.
Bilangan yang dicari logaritmanya a disebut numerous, dengan a bernilai positif (a > 0)
Hasil logaritma x dapat bernilai positif ,nol, ataupun negatif.
Beberapa sifat dasar logaritma :
glog gn = n, g log g = 1, dang log 1 = 0

SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Logaritma dari suatu hasil kali dua bilangan sama dengan jumlah kedua logaritmanya, yaitu :
alog (m×n) = alog m + alog n
bukti : misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n
dengan mengalikan ax = m dan ay = n, diperoleh
ax+y = m×n ↔ alog (m×n) = x+y = alog m + alog n [ terbukti ]
Logaritma dari suatu hasil bagi dua bilangan sama dengan selisih kedua logaritmanya, yaitu :
alogm/n = alog m – alog n
bukti :
misal alog m = x dan alog n = y. sehingga, ax = m dan ay = n
dengan membagi ax = m dengan ay = n, diperoleh ax-y = m/n ↔  alog m/n = x – y = alog m – alog n [ terbukti ]
Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan hasil kali dari pangkat dan bilangan tersebut, yaitu : alogmn= n×alog m
bukti :
misal alog m = x. artinya ax = m. sehingga,
(a^x )^n = mn
↔  anx = mn
↔  alog mn = n × x = n × alog m  [ terbukti ]
aalog b = b dan 〖a^n〗_(〖log⁡b〗^m ) =  m/(n )  alog b
g log a × a log b = g log b

FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a ( a> 0 dan a ≠ 1 ) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :
Y = f(x) = a log x
Fungsi logaritma y = f(x) = a log x merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen y = f(x) = ax.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi logaritma y = f(x) = a log x.

f(x) = a log x disebut rumus atau aturan bagi fungsi logaritma standar.
a adalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi f(x) = a log x, dengan ketentuan :a> 0 dan a ≠ 1 (0 < a < 1 atau a > 1).
Daerah asal (domain) fungsi f(x) = a log x adalah Df = { x׀ x > 0 dan x ϵ  R }.
Wilayah hasil (range) fungsi f(x) = a log x adalahWf = {y ǀ y ϵ R}.

PERSAMAAN LOGARITMA
Definisi persamaan logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.

Dalam pasal-pasal berikut ini akan dibahas beberapa macam bentuk persamaan logaritma disertai cara-cara menentukan penyelesaiannya.
Bentuk a log f(x) = a log p
Himpunan penyelesaian dari persamaan logritmaa log f(x) = a log p dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log p  maka f(x) = p asalkan f(x) > 0
Bentuk a log f(x) = b log f(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = b log f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1

Bentuk a log f(x) = a log g(x)
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = a log g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut.
Jika a log f(x) = a log g(x) makaf(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x)  keduanya positif

PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Definisi pertidaksamaan logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.

Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar. Sifat-sifat ini sebagai berikut:

Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)
Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0

Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
Jika a log f(x) ≥ a log g(x) maka f(x) ≤ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0
Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka f(x) ≥ g(x) ; f(x) dan g(x) > 0

Contoh Soal

3. Tentukanlah  nilai dari logaritma berikut ini:

Nilai pada logaritma (2log 8) + (3log 9) + (5log 125)

Nilai pada logaritma (2log 1/8)+(3log 1/9) + (5log 1/125)

Pembahasannya :

a.(2log 8) + (3log 9) + (5log 125)
zb.(2log 1/8) + (3log 1/9) + (5log 1/125) = (2log 2 /−3) + (3log 3 /−2) + (5log 5 /−3) = (− 3 − 2 – 3) = − 8j

Jadi, nilai yang diperoleh dari soal diatas adalah 8 dan 8j.

Contoh Soal

Jika Diketahui 2log 8 = a dan 2log 4 = b. maka Tentukan nilai dari 6log 14

a. 1 /2
b. (1+2) / (2+1)
c. (a+1) / (b+2)
d. (1 +a) / (1+b)

Pembahasannya:

Untuk 2 log 8     = a
=  (log 8 / log 2) = a
=  log 8 = a log 2

Untuk 2 log 4     = b
=  (log 4 / log 2) = b
=  log 4 = b log 2

Maka ,16 log 8  = (log 16) / (log68)
=  (log 2.8) / (log 2.4)
=  (log 2 + log 8) / (log 2 + log 4)
=  (log 2 + a log a) / (log 2 + b log b)
=  log2 (1+ a) / log 2( 1+ b)
=  (1+a) / (1+ b)

Jadi, nilai dari 6 log 14 pada contoh soal diatas adalah (1+a) / (1+b). (D)

TRIGONOMETRI

PENGERTIAN  Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunanitrigo non = tiga sudut danme tro =

mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsiTrigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen.

Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik,optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi,

pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi,meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik,arsitektur dan bahkan farmasi.

Ukuran Sudut

Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal.

Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif.

Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah.

Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian

Perbandingan trigonometri

Perbandingan trigonometri

Catatan:

Sin = sinus

Cos = cosinus

Tan/Tg = tangens

Sec = secans

Cosec/Csc = cosecans

Cot/Ctg = cotangens

Dari catatan tersebut dapat diperoleh:
  
(sec merupakan kebalikan dari cos,
csc merupakan kebalikan dari sin, dan
cot merupakan kebalikan dari tan)
Contoh:
Dari segitiga berikut ini:

Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A!
Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras:

Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa
* tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6

Identitas Trigonometri

Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagorasyang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu:

Identitas Kebalikan Identitas Perbandingan Identitas Phytagoras
Cosec A = 1/ sin A 
Sec A = 1/cos A 
Cot A = 1/ tan A
Tan A = Sin A/ Cos A 
Cot A = Cos A / Sin A
Cos2 A + Sin2 A = 1 
1 + tan2 A = Sec2 A 
1 + Cot2 A = Cosec2 A

Kuadran

Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerah
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar:

Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a
(k = bilangan bulat > 0)
Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip

Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah:

sin ↔ cos

tan ↔ cot

sec ↔ csc

Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap

Sudut dengan nilai negatif
Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam

Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV
Contoh:

Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif)

Cos 120º = cos (90 + 30)º = – sin 30º = – 1/2

Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif)

Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2

Identitas Trigonometri

Sehingga, secara umum, berlaku:

sin2a + cos2a = 1

1 + tan2a = sec2a

1 + cot2a = csc2a

Grafik fungsi trigonometri

y = sin x

y = cos x

y = tan x

y = cot x

y = sec x

y = csc x
 
Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c

Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan 2π/k

Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan π/k

Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A|

Amplitudo = ½ (ymax – ymin)

Cara menggambar:

Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas

Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya

Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A

Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k

Untuk kx – b → grafik digeser ke kanan sejauh b/k

Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c

Untuk – c → grafik digeser ke bawah sejauh c

Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

Aturan Sinus
Dari segitiga ABC di atas:
Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus:
Aturan Cosinus
Dari segitiga ABC di atas:
Sehingga, secara umum:
Luas Segitiga
Dari segitiga ABC di atas diperoleh:
Sehingga, secara umum: 

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

Dari gambar segitiga ABC berikut:
AD = b.sin α
BD = a.sin β
CD = a.cos β = b.cos α

Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°
Untuk fungsi tangens:
Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

RUMUS SUDUT RANGKAP

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

Penurunan dari rumus cos2α:

RUMUS PERKALIAN FUNGSI SINUS DAN KOSINUS

Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut:
Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI SINUS DAN KOSINUS

Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Diketahui salah satu sudut segitiga siku-siku, ABC adalah α . Jika diketahui sin α = 5/15 dan panjang siku siku dihadapan α adalah 15 cm. Hitunglah:

a. Cos α

b. Tan α

Pembahasan : 

a. Sin α = 5/15, jika panjang a= 15 maka berdasarkan rumus  Sin α = a / b , maka panjang b= 45.

Sehingga untuk mendapatkan panjang  b dapat digunakan rumus Segitiga phitagoras.

c² = b² – a²
    = 45² – 15²
    = 2025 – 225
 c =√1800
 c = 30√2

a. Cos α = c/b =  30√2 / 45 = 2 √2 / 3

b. Tan α = a/c = 15 /  30√2 = 1 / 2√2 = 1 / 4√2

2. Jika Cos α = 6 /10, tentukan :

a. Sin α

b. Tan α

Pembahasan : 

Sin  α = a / b = 6 / 10, 

Untuk mencari Cos dan Tan, sebelumnya cari dulu panjang c dengan menggunakan Rumus Phytagoras

c² = b² – a²
    = 10² – 6²
    = 100 – 36
 c =√64
 c = 8

a. Cos α = c/b =  8 / 10 

b. Tan α = a/c = 6 / 8

PROGRAM LINIER

Pengertian Program Linear

Program linier adalah merumuskan masalah dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia kemudian menerjemahkan masalah tersebut dalam bentuk model matematika. Sifat linier mempunyai arti bahwa seluruh fiungsi dalam model ini merupakan fungsi yang linier.

Program linier (linear programming) adalah merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka atau terbatas untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Sumber daya tersebut dapat berupa sumber daya fisik seperti uang, tenaga ahli, material (bahan dan mesin) ataupun bukan fisik.

Pemrograman linier berasal dari kata pemrograman dan linier. Pemrograman disini mempunyai arti kata perencanaan, dan linier ini berarti bahwa fungsi-fungsi yang digunakan merupakan fungsi linier. Secara umum arti dari pemrograman linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analisis yang analisis-analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah kemudian dipilih yang terbaik di antaranya dalam rangka menyusun strategi dan langkah-langkah kebijaksanaan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan dan sasaran yang di inginkan secara optimal.

Bentuk Umum Program Linear

Bentuk umum linear programming adalah sebagai berikut:

Fungsi tujuan :

Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Sumber daya yang membatasi :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = /≤ / ≥ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm

x1, x2, …, xn ≥ 0

Simbol x1, x2, …, xn  (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,…,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, …,a1n,…,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,…,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.

Cara Penyelesaian Program Linear Dengan Metode Grafik

1)   Langkah Penyelesaian Metode Grafik

Ada beberapa langkah penyelesaian diantaranya sebagai berikut:

a)   Buat model yang sesuai dengan masalah yang ada.

b)   Gambar grafik kendala-kendalanya.

c)   Tentukan daerah fisibel, yaitu daerah dalam grafik yang memenuhi semua kendala.

d)   Hitung nilai fungsi di titik-titik sudut segi-n daerah fisibel.

e)   Cari titik yang menghasilkan nilai fungsi yang paling optimal

2)   Kasus dan Penyelesaian Dalam Metode Grafik

Contoh :

Seorang pengusaha Laptop membuat dua macam tipe, yaitu tipe portable touchscreen (A1) dan tipe flip standar (A2). Kedua jenis laptop dibuat dari bahan yang sama yaitu X dan Y, dengan komposisi yang berbeda.

Setiap tipe laptop portable touchscreen dibuat dari campuran 1 unit bahan X dan 3 bahan Y, sedangkan setiap tipe laptop flip standar dibuat dari campuran 2 unit bahan X dan 1 unit bahan Y. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari ia hanya memperoleh 20 unit bahan X dan 20 unit bahan Y.

Untuk setiap laptop tipe portable touchscreen yang ia buat, ia memperoleh keuntungan sebesar 300.000. Untuk setiap laptop tipe flip standar, ia memperoleh keuntungan sebesar 200.000.

Jika diasumsikan bahwa semua laptop laku terjual, berapa laptop masing-masing tipe harus ia buat agar keuntungan yang didapatkan maksimum?

Penyelesaian:

Bahan Laptop tipe portabletouchscreen (A1) Laptop tipe flip standar (A2) Pasokan Maksimum
X 1 2 20
Y 3 1 20
Untung 300.000 200.000  

Maksimumkan, f(x1, x2) = 300.000 x1 + 200.000 x2 è 3 x1 + 2 x2 (dalam ratusan ribu)

Kendala :

x1 + 2 x2 ≤ 20

3 x1 + x2 ≤ 20

x1, x2 ≥ 0

Penggambaran kendala x1 + 2 x2 ≤ 20, 3 x1 + x2 ≤ 20 dan x1, x2 ≥ 0

Metode Grafik

Kasus 1.1

Perpotongan bidang yang memenuhi semua kendala disebut daerah fisibel. Daerah fisibel dalam kasus ini disebut daerah fisibel AEDO (bagian yang diarsir pada bagian perpotongan bidang AOB dan bidang COD).

Koordinat E dapat dicari dari perpotongan x1 + 2 x2 ≤ 20 dan 3 x1 + x2 ≤ 20 sehingga diperoleh E(4,8).

Titik-titik sudut daerah fisibel dapat melihat keuntungan maksimum yang ingin dicapai pengusaha:

Titik-titik sudut daerah fisibel Nilai fungsi , f(x1, x2) = 3 x1 + 2 x2 3 x1 + 2 x2 (dalam ratusan ribu) 
O (0,0) 3(0) + 2(0) = 0
A (0,10) 3(0) + 2 (10) = 20
E (4,8) 3(4) + 2(8) = 12 + 16 = 28
D (20/3,0) 3(20/3) + 2(0) = 20

Cara Penyelesaian Program Linear Dengan Metode Aljabar

Pemecahan persoalan PL dengan metode aljabar adalah pemecahan persoalan dengan cara substitusi antarpersamaan linear pada fungsi pembatas dan fungsi tujuan.

Prinsip yang digunakan ialah mencari seluruh kemungkinan pemecahan dasar feasible (layak), kemudian pilih salah satu yang memberikan nilai objektif optimal, yaitu paling besar (maksimum) atau paling kecil (minimum).

Pemecahan persoalan Program Linear dengan metode aljabar ini dibagi 3 (tiga) kasus, yaitu:

a.    Kasus Maksimisasi.

kasus pemecahan persoalan PL yang bertujuan mencari seluruh kemungkinan pemecahan yang memberikan nilai objektif maksimum.

Langkah-langkah penyelesaian

1)  Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel

2)  Merubah fungsi tujuan dengan menambah slack variabel bernilai nol

3)  Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan

Contoh-1 : Perusahaan konveksi “Maju” akan memproduksi baju dan celana, dengan:

Fungsi Tujuan:

Maksimumkan Z = 8 X1 + 6 X2 (dalam Rp 1.000).

Fungsi Pembatas :

•      P-Bahan    : 4 X1 + 2 X1 ≤ 60

•      Penjahitan : 2 X1 + 4 X2 ≤ 48 X1, X2 ≥ 0

b.    Kasus Minimasi

Kasus pemecahan masalah program linear yang bertujuan seluruh kemungkinan pemecahan yang memberikan nilai objektif minimum.

Langkah-langkah Penyelesaian

1)  Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan mengurangi dengan surplus variabel (S).

2)  Merubah fungsi tujuan dengan menambah surplus variabel bernilai nol.

3)  Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan.

CONTOH:

Seorang petani modern menghadapi suatu persoalan sebagai berikut: Setiap sapi peliharaan agar supaya sehat harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit: 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan M1 dan M2 diberikan kepada sapi peliharaan tersebut. Satu gram makanan jenis M1 mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu gram makanan jenis M2 mengandung unsur nutrisi jenis A,B, dan C masing-masing 1,1, dan 2 satuan. Harga satu gram M1 dan M2 masing-masing sebesar Rp40.000 dan Rp20.000.- Petani tersebut harus memutuskan apakah membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya kemudian mencampurnya. Tujuan adalah agar jumlah pengeluaran petani tersebut minimum.

c.    Kasus-kasus khusus

Beberapa kasus khusus selain kasus maksimisasi dan minimisasi adalah kasus solusi optimum ganda dan tidak memiliki solusi yang layak.

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN

1)  Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel

2)  Merubah fungsi tujuan dengan menambah slack variabel bernilai nol

3)  Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan

Contoh :

1)     Solusi Optimum Ganda

a)     Fungsi Tujuan :

Maksimumkan Z = 4X1 + 4X2

b)     Fungsi Pembatas :

X1 + 2X2 ≤ 10

X1 + 6X2    ≤ 36

X1            ≤ 4

X1, X2      ≥ 0

2)     Tidak Memiliki Solusi Layak

a)     Fungsi Tujuan :

Maksimumkan Z = 5X1 + 3X2

b)     Fungsi Pembatas :

4X1 + 2X2 ≤ 8

X1 ≥ 3

X2 ≥ 7

X1, X2 ≥ 0

Ciri – ciri program liner

Tujuan perusahaan pada umumnya adalah memaksimalisasi keuntungan, namun karena terbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.

Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :

1. penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi

2. kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan

3. ada beberapa alternatif penyelesaian

4. hubungan matematis bersifat linear

Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu:

1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa.

2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fimgsi kendala.

3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu.

4. divisibility Coisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.

5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *