Makalah Trigonometri metematika

BAB I
PENDAHULUAN

A. TUJUAN
Untuk mengetahui dan memahami lebih dalam tentang trigonometri, sehingga
dapat menggunakan aplikasi-aplikasi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.

B. LATAR BELAKANG
Lebih dari 3000 tahun yang lalu pada zaman Mesir Kuno dan Babilonia serta peradabanLembah Indus adalah awal trigonometri dapat dilacak Matematikawan
India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk
menghitung astronomi dan juga trigonometri.
Sekitar 150 SM matematikawan Yunani Hipparchus menyusun tabel
trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Dan dilanjutkan oleh Ptolemy yang
juga merupakan matematikawan yunani sekitar tahun 100 yang mengembangkan
penghitungan trigonometri lebih lanjut. Kemudian pada tahun 1595
matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang
berpengaruh tentang trigonometri dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa
Inggris dan Perancis. Hingga saat ini trigonometri telah digunakan oleh pembuat
jalan,pembuat jembatan dan mereka yang menghasilkan bangunan.

C.RUMUSAN MASALAH
1. Apa pengertian Trigonometri?
2. Kapan Trigonometri digunakan?
3. Apa fungsi Trigonometri?
4. Apa saja ruang lingkup Trigonometri?
5. Apa saja aplikasi Trigonometri?

BAB II
PEMBAHASAN

A. TRIGONOMETRI

PENGERTIAN Trigonometri
Trigonometri (dari bahasa Yunanitrigo non = tiga sudut danme tro =
mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut
segi tiga dan fungsiTrigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen.
Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi
yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi
(dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik,
optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi,
pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi,
meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik,
arsitektur dan bahkan farmasi.

Ukuran Sudut
Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal.
Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif.
Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah.
Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian
Perbandingan trigonometri

Perbandingan trigonometri
Catatan:
Sin = sinus
Cos = cosinus
Tan/Tg = tangens
Sec = secans
Cosec/Csc = cosecans
Cot/Ctg = cotangens
Dari gambar tersebut dapat diperoleh:

(sec merupakan kebalikan dari cos,
csc merupakan kebalikan dari sin, dan
cot merupakan kebalikan dari tan)
Contoh:
Dari segitiga berikut ini:

Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A!
Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras:

Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa

* tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6
Identitas Trigonometri
Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagorasyang masing-masing memiliki fungsi dasar, yaitu:

Identitas Kebalikan Identitas Perbandingan Identitas Phytagoras
Cosec A = 1/ sin A
Sec A = 1/cos A
Cot A = 1/ tan A
Tan A = Sin A/ Cos A
Cot A = Cos A / Sin A
Cos2 A + Sin2 A = 1
1 + tan2 A = Sec2 A
1 + Cot2 A = Cosec2 A

Kuadran
Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerah
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar:

Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a
(k = bilangan bulat > 0)
Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip
Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah:
sin ↔ cos
tan ↔ cot
sec ↔ csc
Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap
Sudut dengan nilai negatif
Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam

Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV
Contoh:
Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif)
Cos 120º = cos (90 + 30)º = – sin 30º = – 1/2
Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif)
Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2
Identitas Trigonometri
Sehingga, secara umum, berlaku:
sin2a + cos2a = 1
1 + tan2a = sec2a
1 + cot2a = csc2a
Grafik fungsi trigonometri
y = sin x

y = cos x

y = tan x

y = cot x

y = sec x

y = csc x

Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c
Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan 2π/k
Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan π/k
Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A|
Amplitudo = ½ (ymax – ymin)
Cara menggambar:
Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas
Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya
Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A
Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k
Untuk kx – b → grafik digeser ke kanan sejauh b/k
Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c
Untuk – c → grafik digeser ke bawah sejauh c
Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

Aturan Sinus
Dari segitiga ABC di atas:

Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus:

Aturan Cosinus
Dari segitiga ABC di atas:

Sehingga, secara umum:

Luas Segitiga
Dari segitiga ABC di atas diperoleh:

Sehingga, secara umum:

B. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
Dari gambar segitiga ABC berikut:

AD = b.sin α
BD = a.sin β
CD = a.cos β = b.cos α
Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°

Untuk fungsi tangens:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

C. RUMUS SUDUT RANGKAP

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:
Penurunan dari rumus cos2α:

D. RUMUS PERKALIAN FUNGSI SINUS DAN KOSINUS
Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:
E. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI SINUS DAN KOSINUS
Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:

BAB III

PENUTUP

Demikianlah makalah yang kami buat semoga bermanfaat bagi orang yang membacanya dan menambah wawasan bagi orang yang membaca makalah ini. Dan penulis mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penulisan kata dan kalimat yang tidak jelas, mengerti, dan lugas mohon jangan dimasukan ke dalam hati.

Dan kami juga sangat mengharapkan yang membaca makalah ini akan bertambah motivasinya dan mengapai cita-cita yang di inginkan, karena saya membuat makalah ini mempunyai arti penting yang sangat mendalam.

Sekian penutup dari kami semoga berkenan di hati dan kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *